Le théorème de Thalès

%%% Le théorème Mis à l’épreuve par le Pharaon Amasis d’Egypte, Thalès chercha à mesurer la hauteur d’une pyramide.
Il se servit ainsi du soleil, et calcula le rapport entre l’ombre d’une pyramide et celle du corps humain.
Il conclut ainsi, le théorème qui portera son nom, par la suite, et qui se formule de la façon suivante : « Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle, alors elle détermine avec les deux autres côtés, ou leurs prolongements, un nouveau triangle dont les côtés sont respectivement proportionnels aux côtés du premier ».

Pour mieux comprendre, imaginons deux droites (AB) et (AC), sécantes en A.
Prenons un point M appartenant à la droite (AB), distinct de A et B et un point N appartenant à la droite (AC), distinct de A et C.
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les triangles AMN et ABC ont les longueurs de leurs côtés, associés proportionnels, autrement dit : AB/AM = AC/AN = BC/MN La remarque Les côtés de même support, ou de supports parallèles, sont appelés côtés associés.

La réciproque du théorème de Thalès La réciproque du théorème de Thalès nous permet de déduire le parallélisme, dès lors que l’on connaît l’égalité de certaines proportionnalités.
La propriété de la réciproque se formule donc ainsi : « Si une droite partage, proportionnellement, les deux côtés d’un triangle, ou leurs prolongements, alors elle est parallèle au troisième côté ».
Si on reprend le cas énoncé en première partie, la réciproque affirme que si : AB/AM = AC/AN, alors les deux droites (BC) et (MN) sont parallèles.