Le discriminant est le moyen le plus simple d’étudier un polynôme du second degré pour résoudre une équation, une inéquation ou le factoriser.
Il est noté Δ et est égal a b² – 4ac.
I- Équation du second degré ax²+bx+c = 0 Trois cas sont à distinguer Δ < 0 => pas de solutions Δ = 0 => une solution double de la forme x1 = x2 = – b / 2a Δ > 0 => deux solutions distinctes x1et x2 de la forme x1 = (- b – √Δ) / 2a et x2 = (- b + √Δ) / 2a II- Factoriser un trinôme du second degré On note P(x) = ax² + bx + c Si le trinôme P(x)=0 n’a pas de solutions => P(x) ne peut pas être factorisé.
Si le trinôme a une solution double notée x0, => le trinôme peut se factoriser sous la forme a(x – x0)².
Si le trinôme a deux solutions distinctes notées x1 et x2 => le trinôme peut se factoriser sous la forme a(x – x1)(x -x2).
III- Inéquation du second degré.
Si Δ < 0, P(x) est du signe de a pour tout x x -∞ +∞ P(x) signe de a si Δ = 0, P(x) s'annule en x0 et il est du signe de a pour tout x ≠ x0, x -∞ x0 +∞ P(x) signe de a ( ) signe de a si Δ > 0, P(x) s’annule en x0 et x1.
Il est du signe de a a l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
On suppose x1 < x2.
x -∞ x1 x2 +∞ P(x) signe de a ( ) signe de -a ( ) signe de a
